Каталог по темам

Выбрано 13 задач

При каких n многочлен (x + 1)ⁿ – xⁿ – 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?

Докажете, что в звезде, изображенной на картинке, не могут быть выполнены одновременно неравенства BC > AB, DE > CD, FG > EF, HK > GH, LA > KL.

Решение

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Решение

В треугольнике ABC отношение стороны BC к стороне AC равно 3, а $\angle$ ACB = $\alpha$ . Из вершины C проведены два луча, делящие угол ACB на три равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника ABC.

Решение

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Решение

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Решение

При каких A и B многочлен Axⁿ⁺¹ + Bxⁿ + 1 имеет число x = 1 не менее чем двукратным корнем?

Решение

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ выбраны на прямых BC, CA и AB так, что $\overline{BA_2}$ : $\overline{A_2C}$ = $\overline{A_1C}$ : $\overline{BA_1}$ , $\overline{CB_2}$ : $\overline{B_2A}$ = $\overline{B_1A}$ : $\overline{CB_1}$ и $\overline{AC_2}$ : $\overline{C_2B}$ = $\overline{C_1B}$ : $\overline{AC_1}$ . Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AD равна 7, сторона DC равна 5, сторона BC равна 5 ${\frac{19}{20}}$ . Известно, что угол BAD острый, угол ABC тупой, причём синус угла BAD равен ${\frac{3}{5}}$ , косинус угла ADC равен - ${\frac{3}{5}}$ . Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и AD.

Решение

На плоскости дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если A, B, C — любые три из них, то внутри треугольника ABC нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник A₁A₂...A_n будет выпуклым.

Решение

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании.
Найдите стороны трапеции, если её высота равна 12, а длины биссектрис равны 15 и 13.

Решение

В треугольнике ABC высота BD равна 11,2 а высота AE равна 12. Точка E лежит на стороне BC и BE : EC = 5 : 9. Найдите сторону AC.

Решение

Задача 54217

Задача 54257

Задача 54308

Задача 54436

Задача 54437