Каталог по темам

Выбрано 19 задач

Про многочлен f(x) = x¹⁰ + a₉x⁹ + ... + a₀ известно, что f(1) = f(–1), ..., f(5) = f(–5). Докажите, что f(x) = f(– x) для любого действительного x.

Решение

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE ABC = ∠ADE и ∠AEC = ∠ADB, то ∠BAC = ∠DAE.

Решение

Автор: Пеллер В.Б.

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x₁, x₂, x₃, ..., x₉, x₁₀ равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x₁, ½ (x₁ + x₂), ⅓ (x₁ + x₂ + x₃), ..., ¹/₁₀ (x₁ + x₂ + ... + x₁₀)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

Решение

Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O — на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC = 2 $\sqrt{2}$ AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ACB.

Решение

Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?

Решение

Автор: Жгун В.С.

Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N.
Докажите, что если вокруг четырёхугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC равнобедренный.

Решение

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение

Прямоугольник размером m×n замощен плитками, изображенными на рис. Докажите, что m и n делятся на 4.

Решение

Около треугольника APK описана окружность радиуса 1. Продолжение стороны AP за вершину P отсекает от касательной к окружности, проведённой через вершину K, отрезок BK, равный 7. Найдите площадь треугольника APK, если известно, что угол ABK равен arctg ${\frac{2}{7}}$ .

Решение

Докажите, что многочлен x⁴⁴ + x³³ + x²² + x¹¹ + 1 делится на x⁴ + x³ + x² + x + 1.

Решение

Во время стоянки между двумя рейсами матросу исполнилось 20 лет. По этому случаю в кают-компании собрались все шесть членов команды.
– Я вдвое старше юнги и на 6 лет старше машиниста, – сказал рулевой.
– А я на столько же старше юнги, на сколько моложе машиниста, – заметил боцман. – Кроме того, я на 4 года старше матроса.
– Средний возраст команды – 28 лет, – дал справку капитан.
Сколько лет капитану?

Решение

Докажите, что три неравенства не могут быть все верны одновременно, если числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ положительны.

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B; AM и AN – диаметры окружностей. Докажите, что точки M, N и B лежат на одной прямой.

Решение

Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.

Решение

O – центр окружности, C – точка пересечения хорды AB и радиуса OD, перпендикулярного к ней, OC = 9, CD = 32. Найдите длину хорды.

Решение

Автор: Кузнецов А.

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Решение

В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям и равна 9, CD = 12, а отрезок AO, где O — точка пересечения диагоналей трапеции, равен 6. Найдите площадь треугольника BOC.

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла ACB в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC : AB = 4 : 3, а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла ACB.

Решение

Задача 53163

Задача 54903

Задача 54904

Задача 54905

Задача 52402