На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC выбраны точки P и R соответственно так, что  AP = CR.  Точка M – середина отрезка PR.
Докажите, что  BR = 2AM .

   Решение

Натуральное число n называется хорошим, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на n. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.

   Решение

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

   Решение

Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.

   Решение

а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A₁ и B₁, что AA₁ = BB₁.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.

   Решение

Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.

   Решение

Доказать, что если  a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ ... ≤ a₁₀,  то   ¹/₆ (a₁ + ... + a₆) ≤ ¹/₁₀ (a₁ + ... + a₁₀).

   Решение

Дана трапеция ABCD, в которой  BC = a,  AD = b.  Параллельно основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q. Известно, что  PL = LR.  Найдите PQ.

   Решение

Через центр окружности  ω ₁ проведена окружность  ω ₂; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности  ω ₂ в точке B пересекает окружность  ω ₁ в точке C. Докажите, что AB = BC.

   Решение

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

   Решение

Докажите, что хорды, удалённые от центра окружности на равные расстояния, равны.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 563]      

Постройте центр данной окружности с помощью двусторонней линейки, если известно, что ширина линейки меньше диаметра окружности.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении  1 : 2.

Прислать комментарий

Решение

Дана прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Найдите на прямой l такую точку M, чтобы луч MA был биссектрисой угла между лучом MB и одним из лучей с вершиной M, принадлежащих данной прямой l.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к третьей стороне.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 563]