На дуге  A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника  A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а)  d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б)  l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

   Решение

На сторонах OA и OB четверти AOB круга построены как на диаметрах полуокружности ACO и OCB, пересекающиеся в точке C. Докажите, что:

1) прямая OC делит угол AOB пополам;

2) точки A, C и B лежат на одной прямой;

3) дуги AC, CO и CB равны между собой.

   Решение

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной точке F и сторону BC в единственной точке E.
Найдите площадь трапеции AFCB, если  AB = 32,  AD = 40  и  BE = 1.

   Решение

Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

   Решение

Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.

   Решение

В треугольной пирамиде SABC известны плоские углы при вершине S : BSC = 90^o , ASC = ASB = 60^o . Вершины A , S и середины рёбер SB , SC , AB , AC лежат на поверхности шара радиуса 3. Докажите, что ребро SA является диаметром этого шара, и найдите объём пирамиды.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник ABCD по четырём углам и сторонам AB = a и CD = b.

   Решение

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

   Решение

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

   Решение

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

   Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

   Решение

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

   Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны.
Найдите радиус окружности.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, A₁, B₁, C₁ – основания высот. На прямых OA₁, OB₁, OC₁ нашли такие точки A', B', C' соответственно, что четырёхугольники AOBC', BOCA', COAB' вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников AA₁A', BB₁B', CC₁C', имеют общую точку.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?

   Решение

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]      

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, L – середина AC, а точка M на отрезке AB такова, что  ∠AKM = ∠CKL.  Докажите, что  MA = MB.

Прислать комментарий

Решение

Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной m и n, считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите длины отрезков касательных, заключённых между сторонами треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что  AC² = ab,  где a и b – основания трапеции.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF; DK и DL – биссектрисы треугольников BDC и ADC.
Докажите, что CLFK – квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]