В прямоугольном бильярде размером p×2q, где p и q – нечётные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45° к стороне. Доказать, что шарик обязательно попадёт в одну из средних луз.

   Решение

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

   Решение

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

   Решение

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1032]      

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

Прислать комментарий

Решение

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

Прислать комментарий

Решение

Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стерли, оставив только точки A и B. Восстановите точку M.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1032]