Каталог по темам

Выбрано 15 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Решение

Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

Решение

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

Решение

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

Решение

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что $\angle$ MAC = $\angle$ MCD = $\alpha$ . Найдите величину угла ABM.

Решение

Какое из двух чисел больше:

а) (n двоек) или (n − 1 тройка);

б) (n троек) или (n − 1 четвёрка).

Решение

Докажите, что при 0 $\leqslant$ $\varphi$ $\leqslant$ ${\frac{\pi}{2}}$ выполняется неравенство

cos sin $\displaystyle \varphi$ > sin cos $\displaystyle \varphi$ .

Решение

Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы

$\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +...

произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

Решение

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

Решение

Автор: Бродский Н.

Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов (n ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм ABCD по отрезкам AB, AC и AD.

Решение

Постройте треугольник по a, h_a и b/c.

Решение

На стороне AB треугольника ABC взята точка D, а на стороне A₁B₁ треугольника A₁B₁C₁ взята точка D₁. Известно, что треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны и отрезки DB и D₁B₁ равны. Докажите равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Решение

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок AC = 10?

Решение

Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.

Решение

Задача 57257

Задача 57258

Задача 57259

Задача 57260

Задача 57261