Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A , не принадлежащую плоскости π , и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью π .

Решение

На плоскости α даны три точки A , B и C , не лежащие на одной прямой. Пусть M – такая точка в пространстве, что прямые MA , MB и MC образуют равные углы с плоскостью α . Найдите геометрическое место точек M .

Решение

Внутри данной окружности находится другая окружность. CAE и DBF - две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках A и B;CND, EPF - дуги между концами хорд. Найдите угловую величину дуги CND, если дуги AMB и EPF содержат соответственно 154^o и 70^o.

Решение

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.

Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣BC : ⌣CD : ⌣DA = 2 : 3 : 5 : 6. Проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке M.
Найдите угол AMB.

Решение

Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7. Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.

Решение

Автор: Ивлев Б.М.

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.

Решение

а) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ $\geq$ $\sqrt{3}$ ;
б) tg( $\alpha$ /2) + tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2) $\geq$ $\sqrt{3}$ .

Решение

а) sin $\alpha$ + sin $\beta$ + sin $\gamma$ $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /2;
б) cos( $\alpha$ /2) + cos( $\beta$ /2) + cos( $\gamma$ /2) $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /2.

Решение

Задача 57447

Задача 57448

Задача 57449

Задача 57450

Задача 57451