Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Радзивиловский Л., Гладких А.

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

Вниз   Решение

Докажите, что  cos2($ \alpha$/2) = p(p - a)/bc и  sin2($ \alpha$/2) = (p - b)(p - c)/bc.

ВверхВниз   Решение

Дано n окружностей: O1, O2,...On, проходящих через одну точку O. Вторые точки пересечения O1 с O2, O2 с O3,..., O3 с O1 обозначим соответственно через A1, A2,..., An. На O1 берем произвольную точку B1. Если B1 не совпадает с A1, то проводим через B1 и A1 прямую до второго пересечения с O2 в точке B2. Если B2 не совпадает с A2, то проводим через B2 и A2 прямую до второго пересечения с O3 в точке B3. Продолжая таким образом, мы получим точку Bn на окружности On. Если On не совпадает с An, то проводим через Bn и An прямую до второго пересечения с O1 в точке Bn + 1. Докажите, что Bn + 1 совпадает с B1.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём $ {\frac{CD}{BC}}$ = $ \alpha$ ( $ \alpha$ < $ {\frac{1}{2}}$). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, лежащей между точками B и C, причём BD : BC = $ \alpha$ ($ \alpha$ < 1). Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке E. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ECD.

ВверхВниз   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 4 ) точка D лежит на ребре SC , CD = 3 , а расстояние от точки A до прямой BD равно 2. Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке A . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки M и N лежат на прямой BD , а прямая PQ касается сферы в одной из точек отрезка PQ . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей KM и LN равнобедренной трапеции KLMN касается меньшего основания LM и боковой стороны MN. Найдите периметр трапеции KLMN, если известно, что её высота равна 36, а радиус окружности равен 11.

ВверхВниз   Решение

Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что дроби 1000/2001 и 1001/2001 имеют равную длину периодов.

ВверхВниз   Решение

В углах шахматной доски 3×3 стоят четыре коня: два белых (в соседних углах) и два чёрных.
Можно ли за несколько ходов поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони различного цвета?

ВверхВниз   Решение

Автор: Адамов А.А.

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного этими перпендикулярами шестиугольника равна половине площади треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников  (N > 1).  У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Рубанов И.С.

На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

ВверхВниз   Решение

Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c . Найдите площадь его полной поверхности.

ВверхВниз   Решение

Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра, а другие вершины – на боковой поверхности цилиндра. Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания цилиндра равен R .

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  4S = (a2 - (b - c)2)ctg($ \alpha$/2).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 5294]      

  с решениями  

Задача 55253

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60o и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57593

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  4S = (a2 - (b - c)2)ctg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57594

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  cos2($ \alpha$/2) = p(p - a)/bc и  sin2($ \alpha$/2) = (p - b)(p - c)/bc.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57599

Тема:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 5294]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .