Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ира, Наташа, Алеша и Витя собирали грибы. Наташа собрала больше всех, Ира не меньше всех, а Алеша – больше, чем Витя.
Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

ВверхВниз   Решение

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки H и F – середины рёбер MN и NP соответственно, точка E лежит на отрезке SH , причём SH = 3 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки C и D лежат на прямой EF , а прямая AB касается сферы в одной из точек отрезка AB . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.

ВверхВниз   Решение

Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если
  а)  N = 2;
  б)  N – любое натуральное число, большее 1.

ВверхВниз   Решение

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC и BC равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

ВверхВниз   Решение

Найдите цифры a и b, для которых   = 0,bbbbb...

ВверхВниз   Решение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные a и b. Найдите катеты.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

ВверхВниз   Решение

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
  а) 1/7;   б) 2/7;   в) 1/14;   г) 1/17.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, проходящей через какие-то две из отмеченных точек.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел a1, a2, a3,...задается условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a9000 > 30;
в) найдите предел $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$ {\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 5294]      

  с решениями  

Задача 55253

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в 60o и относятся как 3:8. Найдите эти стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57593

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  4S = (a2 - (b - c)2)ctg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57594

Тема:   [ Теорема косинусов ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что  cos2($ \alpha$/2) = p(p - a)/bc и  sin2($ \alpha$/2) = (p - b)(p - c)/bc.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57599

Тема:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 5294]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .