Каталог по темам

Задачи

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]

Задача 116913

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57647

Темы:	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Прислать комментарий Решение

Задача 109670

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через K_a . Аналогично построим точки K_b и K_c . Докажите, что три прямые, соединяющие точки K_a , K_b и K_c с серединами сторон BC , CA и AB соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 65229

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Якубов А.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110768

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Гомотетия: построения и геометрические места точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]