Имеется резинка и стеклянные шарики-бусины: четыре одинаковых красных, две одинаковых синих и две одинаковых зелёных. Нужно все восемь бусин нанизать на резинку последовательно, чтобы получился браслет. Сколько различных браслетов можно составить так, чтобы бусины одного цвета не оказались рядом? (Считайте, что застёжки нет, а узелок на резинке незаметен.)

   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что = + + . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]      

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что (,) + (,) + (,) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что = + + . Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что OH² = R²(1 - 8 coscoscos).

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]