Пусть p – простое число. Докажите, что  (a + b)^p ≡ a^p + b^p (mod p)  для любых целых a и b.

   Решение

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны.
Найдите радиус окружности.

   Решение

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 241]      

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что

S_BOC ^. + S_AOC ^. + S_AOB ^. = .

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть H_a — ортоцентр треугольника BCD, M_a — середина отрезка AH_a; точки M_b, M_c и M_d определяются аналогично. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c и M_d совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Прислать комментарий

Решение

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 241]