Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 241]

Задача 57699

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что в выпуклом k-угольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей равна нулю.

Прислать комментарий Решение

Задача 57706

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 5
Классы: 9

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | $\overrightarrow{OP}_{1}^{}$ +...+ $\overrightarrow{OP}_{2n+1}^{}$ | $\ge$ 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57716

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 5
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть S_a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности S_b, S_c и S_d определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 57718

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A₁A₂...A_2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

| $\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$ | $\displaystyle \le$ 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57719

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Пусть a₁, a₂, ..., a_{2n + 1} — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂±...±a_{2n + 1} знаки можно выбрать так, что |c| $\le$ 1.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 241]