- Объединение, пересечение и разность множеств (50 задач)
- Формула включения-исключения (42 задачи)
- Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения (38 задач)
- Необычные конструкции (14 задач)
- Теория множеств (прочее) (16 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.
Пользуясь равенством lg11=1,0413…, найдите наименьшее число n>1, для которого среди n-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Найдите ключ к "тарабарской грамоте" — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: "Пайцике тсюг т "`камащамлтой чмароке"' — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти".
На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая,
проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A
и B. Докажите, что произведение
PA . PB не зависит от
выбора прямой.
Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
ортогональны тогда и только тогда, когда
d2 = R12 + R22.
Докажите, что если треугольники abc и a'b'c' на комплексной плоскости собственно подобны, то
Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 1999?
Доказать, что если то x4 + a1x³ + a2x² + a3x + a4 делится на (x – x0)².
Найдите наибольшее значение выражения
.
а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.
Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?
Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжет. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?
В каждой клетке прямоугольной таблицы размером M×K написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1.
Докажите, что M = K.
На плоскости дано n фигур. Пусть Si1...ik – площадь пересечения фигур с номерами
i1, ..., ik, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; Mk – сумма всех чисел Si1...ik. Докажите, что:
а) S = M1 – M2 + M3 – ... + (–1)n + 1Mn;
б) S ≥ M1 - M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm при m чётном и
S ≤ M1 – M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm при m нечётном.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 150]
Задача 109595 |
|
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы.
Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы каждые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
|
|
Решение |
Задача 117008 |
|
|
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимается не менее ⅔ всего класса.
|
|
|
Решение |
Задача 117017 |
|
|
В классе 27 учеников. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для каждых двух учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, в котором занимаются не менее 18 учеников.
|
|
|
Решение |
Задача 58106 |
|
|
На плоскости дано n фигур. Пусть Si1...ik – площадь пересечения фигур с номерами
i1, ..., ik, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; Mk – сумма всех чисел Si1...ik. Докажите, что:
а) S = M1 – M2 + M3 – ... + (–1)n + 1Mn;
б) S ≥ M1 - M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm при m чётном и
S ≤ M1 – M2 + M3 – ... + (–1)m + 1Mm при m нечётном.
|
|
Решение |
Задача 60445 |
|
|
В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше 3/20;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше 1/20.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 150]
