Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 122]

Задача 58216

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $\sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < ${\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$ , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

Прислать комментарий Решение

Задача 73710

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78612

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Объем круглых тел	]
	[	Неравенства с объемами	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Прислать комментарий Решение

Задача 58211

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58214

Тема:

[

Целочисленные решетки (прочее)

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 122]