Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

   Решение

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
  а)  k = 7;   б)  k = 10.

   Решение

Доказать, что число вида  n⁴ + 2n² + 3  не может быть простым.

   Решение

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

Прислать комментарий

Решение

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B₁ и C₁. Прямые BC₁ и CB₁ пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]