Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Исходно на доске написаны многочлены x³ – 3x² + 5 и x² – 4x. Если на доске уже написаны многочлены f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(g(x)) и cf(x), где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида xn – 1 (при натуральном n)?
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и 8 и углом между ними 60o.
Докажите, что у равнобедренного треугольника:
а) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
б) медианы, проведённые из тех же вершин, также равны.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.
Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.
Докажите, что предельная точка пучка является общей точкой окружностей
ортогонального пучка, и наоборот.
На сторонах аффинно правильного многоугольника
A1A2...An с центром O
внешним образом построены квадраты
Aj + 1AjBjCj + 1
(j = 1,..., n).
Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
21 - cos(2
/n)
.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]
Задача 58399 |
|
|
Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно
треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите,
что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна
прямой Эйлера треугольника ACD.
|
|
Решение |
Задача 58400 |
|
|
а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что
б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A1, B1, C1. Пусть a, b, c — длины сторон треугольника ABC, a1, b1, c1 — длины сторон треугольника A1B1C1, S — площадь треугольника ABC. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 58401 |
|
|
Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны
так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите,
что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда
указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом
120o при вершинах A1, B1 и C1.
|
|
|
Решение |
Задача 58402 |
|
|
На сторонах аффинно правильного многоугольника
A1A2...An с центром O
внешним образом построены квадраты
Aj + 1AjBjCj + 1
(j = 1,..., n).
Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
21 - cos(2
/n)
.
|
|
Решение |
Задача 58403 |
|
|
На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные
n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и
только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]
