В треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась ¹/_k площади данного треугольника (k – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на p равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)

   Решение

Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)

   Решение

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами ,, является проективным.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 128]      

Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность S и точка O внутри ее. Рассмотрим все проективные преобразования, которые S отображают в окружность, а O — в ее центр. Докажите, что все такие преобразования отображают на бесконечность одну и ту же прямую.

Прислать комментарий

Решение

Проективное преобразование некоторую окружность переводит в себя, а ее центр оставляет на месте. Докажите, что это — поворот или симметрия.

Прислать комментарий

Решение

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами ,, является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 128]