Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 114]

Задача 58467

Тема:

[

Невозможность построений при помощи одной линейки

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

На плоскости дана окружность. Докажите, что при помощи одной линейки нельзя построить ее центр.

Прислать комментарий Решение

Задача 64614

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67240

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бибиков П.

Дан треугольник $ABC$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ берутся на его описанной окружности так, что $A_1B_1\parallel AB$, $A_1A_2\parallel BC$, $B_1B_2\parallel AC$. Прямые $AA_2$ и $CA_1$ пересекаются в точке $A'$, а прямые $BB_2$ и $CB_1$ – в точке $B'$. Докажите, что все прямые $A'B'$ проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 58451

[Теорема Паскаля]

Темы:	[	Теорема Паскаля	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66950

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Композиция преобразований плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Agarwal P.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 114]