Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 114]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике ABC M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A1 и B1 – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA1 и BB1. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда GM || AB.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам
a,
b,
c,
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое
простым отношением трех комплексных чисел,
вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам
a,
b,
c,
d,
лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда
число
:
, называемое
двойным отношением
четырех комплексных чисел, вещественно.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 114]
Фильтр
