Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 128]      

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

Прислать комментарий

Решение

Дан эллипс с фокусом $F$. Две перпендикулярные прямые, проходящие через $F$, пересекают эллипс в четырех точках. Касательные к эллипсу в этих точках образуют описанный вокруг эллипса четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник вписан в конику с фокусом $F$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ отмечены центроид $M$, ортоцентр $H$ и точка Лемуана $L$. Точка $S$ такова, что окружности $SLH$, $SML$ касаются $MH$, а $L'$ инверсна $L$ относительно описанной окружности. Докажите, что $SL'\parallel MH$.

Прислать комментарий

Решение

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ – на другой. Докажите, что если  AB₁ || BA₁  и  AC₁ || CA₁,  то  BC₁ || CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что  AB₁ || BA₁,  AC₁ || CA₁  и  BC₁ || CB₁.
Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Автобусная сеть города устроена следующим образом:
  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
  3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 128]