ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 114]      



Задача 116572

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Шестиугольники ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
  а)  AB = BCCD = DEEF = FA;
  б)  AB = BCCD = FAEF = DE;
  в)  AB = DECD = FAEF = BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64887

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Сфера, вписанная в пирамиду ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Проективные преобразования пространства ]
[ Касательные к сферам ]
Сложность: 4
Классы: 11

Автор: Нилов Ф.

Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115779

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115899

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64926

Темы:   [ Системы точек ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На плоскости даны n  (n > 2)  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 114]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .