Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В треугольнике ABC проведена медиана AM.
Докажите, что
2AM(b + c)cos(
/2).
а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну
точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A,
B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b,
c, d соответственно. Докажите, что
(abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек
сохраняется при проективных преобразованиях.
По положительным числам х и у вычисляют а = 1/y и b = y + 1/x. После этого находят С – наименьшее число из трёх: x, a и b.
Какое наибольшее значение может принимать C?
Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, A3, B1, B2, B3.
Докажите, что если описанные окружности треугольников
A1A2B3,
A1B2A3 и B1A2A3 проходят через одну точку, то и описанные
окружности треугольников B1B2A3, B1A2B3 и A1B2B3
пересекаются в одной точке.
Сфера радиуса R делит каждое из рёбер SA , SC , AB и BC треугольной пирамиды SABC на три равные части и проходит через середины рёбер AC и SB . Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины S .
Докажите, что если плоскости и
пересекаются,
то центральное проектирование
на
с центром O задает
взаимно однозначное отображение плоскости
с выкинутой
прямой l1 на плоскость
с выкинутой прямой l2, где l1
и l2 — прямые пересечения плоскостей
и
соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными
и
. При этом на l1 отображение не определено.
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих
AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки
пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек
пересечения прямых AC и BD.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 58444 |
|
|
Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания
описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.
|
|
Решение |
Задача 58445 |
|
|
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками
касания противоположных сторон с вписанной окружностью,
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 58446 |
|
|
а) Через точку P проводятся всевозможные секущие
окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения
касательных к окружности S, проведенных в двух точках
пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих
AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки
пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек
пересечения прямых AC и BD.
|
|
Решение |
Задача 58447 |
|
|
Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая
на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S.
Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией
проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l
из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC,
где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB,
а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA.
Докажите, что преобразование P проективно.
|
|
|
Решение |
Задача 58448 |
|
|
Даны окружность S, точка P, расположенная вне S,
и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность
в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности
в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P
и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите,
что геометрическим местом точек пересечения отличных от
AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N,
является некоторая прямая, проходящая через K, из которой
выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать
точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R
точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что
все полученные прямые проходят через одну точку, и эта
точка лежит на l.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
