Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .

   Решение

---

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен .

   Решение

---

Решите уравнение:   .

   Решение

---

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

---

Число n! разложено в произведение простых чисел:     Докажите равенство  

   Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 420]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107761

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Обратный ход ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116254

Темы:   [ Показательные уравнения ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Производная и касательная ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116889

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Приложения интеграла (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60553  [Формула Лежандра]

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Число n! разложено в произведение простых чисел:     Докажите равенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60624

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень  [],  то вторым корнем служит число   

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 420]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями