- Количество и сумма делителей числа (51 задача)
- Функция Эйлера (24 задачи)
- Функция Мебиуса (1 задача)
- Арифметические функции (прочее) (3 задачи)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Докажите, что если а < 1, b < 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤ 9/16.
Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно
выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых
больше . (Сравни с задачей 78201.)
В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке
K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A
и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в
точке M. Докажите, что
O1MO2 =
AKB = 90o.
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие.
Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
a, b, c ≥ 0. Докажите, что .
Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом 30o . Её средняя линия равна 10. Найдите радиус окружности.
Известно, что (m, n) > 1. Что больше φ(mn) или φ(m)φ(n)? Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]
Задача 60770 |
|
|
Известно, что (m, n) > 1. Что больше φ(mn) или φ(m)φ(n)? Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.
|
|
Решение |
Задача 60771 |
|
|
Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение a = 2τ(a).
|
|
Решение |
Задача 60774 |
|
|
Выпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем n и сделаем возможные сокращения. Например, для n = 12 получится следующий ряд чисел: 0/1, 1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4, 5/6, 11/12 Сколько получится дробей со знаменателем d, если d – некоторый делитель числа n?
|
|
|
Решение |
Задача 60776 |
|
|
Окружность разделена n точками на n равных частей. Сколько можно составить различных замкнутых ломаных из n равных звеньев с вершинами в этих точках?
|
|
|
Решение |
Задача 64830 |
|
|
Петя нашел сумму всех нечётных делителей некоторого чётного числа (включая 1), а Вася – сумму всех чётных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]
