Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Многочлены
>>
Формулы сокращенного умножения
>>
Разложение на множители
Фильтр
Выбрано 18 задач Убрать все задачи
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. На её меньших дугах BC , AC и AB взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно. Точки A2 , B2 и C2 – ортоцентры треугольников соответственно BA1C , AB1C и AC1B . Докажите, что описанные окружности треугольников BA2C , AB2C и AC2B пересекаются в одной точке.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.
Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.
Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?
Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что
этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией,
либо симметричен относительно диагонали.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
В пирамиде ABCD площадь грани ABC в четыре раза больше площади грани ABD . На ребре CD взята точка M , причём CM:MD = 2 . Через точку M проведены плоскости, параллельные граням ABC и ABD . Найдите отношение площадей получившихся сечений.
Докажите, что в десятичной записи чисел 19902003 и 19902003 + 22003 одинаковое число цифр.
В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности.
Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.
Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 7, 8 и 9. Стороны этого пятиугольника касаются одной окружности. На какие отрезки точка касания со стороной, равной 5, делит эту сторону?
Дан треугольник ABC, в котором ∠A = α, ∠B = β. На стороне AB взята точка D, а на стороне AC – точка M, причём CD – биссектриса треугольника ABC,
DM || BC и AM = a. Найдите CM.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BK – биссектриса этого треугольника. Описанная окружность треугольника AKB пересекает вторично сторону BC в точке L. Докажите, что CB + CL = AB.
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ∠ABP = ∠ACP, а ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.
Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.
Докажите, что каждая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и a/c×b (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)
Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит её объём на две равные части. В каком отношении эта плоскость делит боковые рёбра пирамиды?
Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:
| а) x4 + 4; | ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3; |
| б) 2x3 + x2 + x – 1; | з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5; |
| в) x10 + x5 + 1; | и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8; |
| г) a3 + b3 + c3 – 3abc; | к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2; |
| д) x3 + 3xy + y3 – 1; | л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2; |
| е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1; | м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15. |
Задачи Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 267]
Задача 61005 |
|
|
Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:
| а) x4 + 4; | ж) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3; |
| б) 2x3 + x2 + x – 1; | з) (x – y)5 + (y - z)5 + (z – x)5; |
| в) x10 + x5 + 1; | и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8; |
| г) a3 + b3 + c3 – 3abc; | к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2; |
| д) x3 + 3xy + y3 – 1; | л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2; |
| е) x2y2 – x2 + 4xy – y2 + 1; | м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15. |
|
|
Решение |
Задача 61006 |
|
|
Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12?
|
|
Решение |
Задача 76528 |
|
|
Докажите, что выражение x5 + 3x4y – 5x³y2 – 15x²y³ + 4xy4 + 12y5 не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.
|
|
|
Решение |
Задача 109915 |
|
|
Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число 2n – 1 делится на число (2m – 1)² тогда и только тогда, когда число n делится на число m(2m – 1).
|
|
|
Решение |
Задача 110212 |
|
|
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 267]
