Каталог по темам

Выбрано 8 задач

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ . На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK = AL$ . Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.

Решение

Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

Решение

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

Решение

Автор: Буяновский А.

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ( AB || CD), A₁ и B₁ — точки, симметричные точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что $\angle$ ACA₁ = $\angle$ BDB₁.

Решение

Докажите, что уравнения
а) 8x⁴ + 4y⁴ + 2z⁴ = t⁴;
б) x² + y² + z² = 2xyz;
в) x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
г) 3ⁿ = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Решение

Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.

Решение

В классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?

Решение

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если
а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.

Решение

Задача 60381

Задача 61419

Задача 88193

Задача 103781

Задача 103818