Дана треугольная пирамида ABCD . На ребре AC взята точка F , причём CF:FA = 2:9 , на ребре CD взята точка M , причём AM – биссектриса угла DAC . Через точки F , M и точку пересечения медиан треугольника DAB проведена плоскость, пересекающая ребро DB в точке N . Известно, что CA:AD = DN:NB + 1 . Известно также, что отношение площади треугольника ADB к сумме площадей всех граней пирамиды ABCD равно p , а перпендикуляр, опущенный из вершины C на плоскость ABD , равен h . Через точку N проведена плоскость, параллельная плоскости ACB и пересекающая рёбра CD и DA в точках K и L соответственно. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN .

   Решение

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]      

Несколько населённых пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населённых пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.

Прислать комментарий

Решение

Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел — в синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа $n$ записал $\frac{x^n}{1-x}$, а для каждого синего числа $m$ записал $\frac{x^m}{1-x^{-1}}.$ После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от $x$.

Прислать комментарий

Решение

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
  б) Докажите, что   a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

  а)  d(0) + d(1)x + d(2)x² + ...  =  (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

  б)  l(0) + l(1)x + l(2)x² + ...  =  (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

   в)  d(n) = l(n)   (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что  d(0) = l(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]