Доказать, что  cos ^2π/₅ + cos ^4π/₅ = – ½.

   Решение

Докажите, что меньшая диагональ параллелограмма выходит из тупого угла.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковое ребро SA равно b . Сфера радиуса касается плоскости SAC в точке C и проходит через точку B . Найдите ASC .

   Решение

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

   Решение

У племени семпоальтеков было 24 слитка золота, 26 редких жемчужин и 25 стеклянных бус. У Кортеса они могут обменять слиток золота и жемчужину на одни бусы, у Монтесумы – один слиток и одни бусы на одну жемчужину, а у тотонаков – одну жемчужину и одни бусы на один золотой слиток. После долгих обменов у семпоальтеков осталось только одна вещь. Какая?

   Решение

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

Прислать комментарий

Решение

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

Прислать комментарий

Решение

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]