Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 245]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115726

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Из точки T провели касательную TA и секущую, пересекающую окружность в точках B и C . Биссектриса угла ATC пересекает хорды AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что PA= .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64403

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Выход в пространство ] [ Окружность Аполлония ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64467

Темы:   [ Построения одной линейкой ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.

  а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.

  б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52466  [Теорема Штейнера-Лемуса]

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенства с биссектрисами ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115455

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Теорема синусов ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

В треугольнике АВС : АС = . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС , середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 245]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями