Версия для печати
Убрать все задачи

---

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

   Решение

---

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73787

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильные многоугольники ] [ Метод координат на плоскости ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Приближения чисел ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52859

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Точки K и P симметричны основанию H высоты BH треугольника ABC относительно его сторон AB и BC.
Докажите, что точки пересечения отрезка KP со сторонами AB и BC (или их продолжениями) – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65029

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107777

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115871

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями