Версия для печати
Убрать все задачи

---

На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?

   Решение

---

Даны натуральные числа a и b, причём  a < b < 2a. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике a×b или b×a есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального N найдётся клетчатый квадрат N×N, в котором отмечено хотя бы αN² клеток?

   Решение

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60331  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Формула Эйлера. Эйлерова характеристика ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

где B — число его вершин, P — число ребер, Г — число граней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60868

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильные многоугольники ] [ Метод спуска ] [ Доказательство от противного ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64404

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65257

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Даны натуральные числа a и b, причём  a < b < 2a. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике a×b или b×a есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального N найдётся клетчатый квадрат N×N, в котором отмечено хотя бы αN² клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66483

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999 \times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $2^7$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями