Версия для печати
Убрать все задачи

---

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

   Решение

---

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

   Решение

---

Дано два тетраэдра A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Рассмотрим шесть пар рёбер A_iA_j и B_kB_l, где  (i, j, k, l)  – перестановка чисел  (1, 2, 3, 4)  (например, A₁A₂ и B₃B₄). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

   Решение

---

Можно ли:
  а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?
  б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97905

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ ... ≥ a_2k+1 ≥ 0.
Докажите неравенство:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98007

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Положительные числа a, b, c, d таковы, что  a ≤ b ≤ c ≤ d  и  a + b + c + d ≥ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32100

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Доказать неравенство   .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65318

Темы:   [ Математическая статистика ] [ Средние величины ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В числовом наборе n чисел, причём одно из чисел равно 0, а другое равно 1.
  а) Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел?
  б) Каким для этого должен быть набор?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65263

Темы:   [ Дискретное распределение ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Можно ли:
  а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения "орла" и "решки" были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций "решка, решка", "орел, решка", "орел, орел" были бы одинаковы?
  б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями