Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Обязательно ли равны два равнобедренных треугольника, у которых равны боковые стороны и радиусы вписанных окружностей?

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек.
б) Докажите, что если X — произвольная точка, а O — центр масс точек X₁,..., X_n с массами m₁,..., m_n, то $\overrightarrow{XO}$ = ${\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$ (m₁ $\overrightarrow{XX_1}$ +...+ m_n $\overrightarrow{XX_n}$ ).

Решение

Пусть a_n – число решений уравнения x₁ + ... + x_k = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Решение

В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Решение

Каждая из двух сторон треугольника разделена на семь равных частей; соответствующие точки деления соединены отрезками.
Найдите эти отрезки, если третья сторона треугольника равна 28.

Решение

Автор: Анджанс А.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

Решение

Около данного круга опишите равнобедренный прямоугольный треугольник.

Решение

В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.

Решение

Докажите, что при a, b, c > 0 имеет место неравенство

Решение

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Решение

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счёт роли не играет).

Решение

Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

Решение

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.

Решение

Задача 66038

Задача 65278

Задача 65305

Задача 65314

Задача 65772