Каталог по темам

Задачи

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 829]

Задача 64392

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Дмитриев И.

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64887

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Проективные преобразования пространства	]
	[	Касательные к сферам	]

Сложность: 4
Классы: 11

Автор: Нилов Ф.

Дана описанная четырёхугольная пирамида ABCDS. Противоположные стороны основания пересекаются в точках P и Q, причём точки A и B лежат на отрезках PD и PC. Вписанная сфера касается боковых граней ABS и BCS в точках K и L. Докажите, что если прямые PK и QL пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65381

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соколов А.

Пусть H и O – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOH, пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65646

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Необычные построения (прочее)	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан квадратный лист бумаги со стороной 2016. Можно ли, согнув его не более десяти раз, построить отрезок длины 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65712

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором ∠DAB = 90°. Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 829]