Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 151]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·40/100 = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном
порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Найдите все функции
f(
x)
, определенные при всех положительных
x , принимающие положительные
значения и удовлетворяющие при любых положительных
x и
y равенству
f(
xy)
=f(
x)
f(
y)
.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
Страница:
<< 16 17 18 19
20 21 22 >> [Всего задач: 151]
Фильтр
Решение 
