Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

   Решение

Правильную четырёхугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды к боковому ребру.

   Решение

Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник по трём сторонам и углам, прилежащим к четвёртой.

   Решение

В треугольник с периметром, равным 20, вписана окружность. Отрезок касательной, проведённый к окружности параллельно основанию, заключённый между сторонами треугольника, равен 2,4. Найдите основание треугольника.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

   Решение

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями  a₀ = 0,  a_n+1 = P(a_n)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

   Решение

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

   Решение

Дан треугольник со сторонами a, b и c. Прямая, параллельная стороне, равной a, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках M и N. Найдите MN.

   Решение

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

   Решение

Через диагональ куба, ребро которого равно a, проведена плоскость, параллельная диагонали одной из граней куба. Найдите площадь полученного сечения.

   Решение

Пусть $p$ и $q$ – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке $0$, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в $0$. Докажите, что для любого натурального $d < p + q$ найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на $d$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

Пусть $p$ и $q$ – взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке $0$, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в $0$. Докажите, что для любого натурального $d < p + q$ найдутся два числа, посещенные лягушкой и отличающиеся на $d$.

Прислать комментарий

Решение

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при  k ≥ 1  выполняется равенство:   = [a^F_k; a^F_k–1, ..., a^F₀],   где {F_k} – последовательность чисел Фибоначчи.

Прислать комментарий

Решение

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... задана условиями  a₀ = 0,  a_n+1 = P(a_n)  (n ≥ 0),  где P(x) – многочлен с целыми коэффициентами,  P(x) > 0  при  x ≥ 0.
Докажите, что для любых натуральных m и k  (a_m, a_k) = a_{(m, k)}.

Прислать комментарий

Решение

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]