Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 1371]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 цвета.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его.
Докажите,
что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут
покрывать не менее половины площади стола.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На плоскости дано n точек, никакие три из которых
не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно обозначить
A
1,A
2,...,A
n
в таком порядке, чтобы замкнутая ломаная
A
1A
2...A
n была
несамопересекающейся.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Ладья обошла шахматную доску, побывав в каждой клетке по крайней
мере по одному разу. Какое наименьшее число поворотов при этом она
могла сделать?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
Страница:
<< 78 79 80 81
82 83 84 >> [Всего задач: 1371]
Фильтр
Решение 
