Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]

Задача 66811

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Bhattacharya A.

Пусть точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Точка $A_1$, лежащая на дуге $BC$ описанной около треугольника окружности $\omega$, удовлетворяет условию $\angle BA_1P=\angle CA_1Q$. Точки $B_1$ и $C_1$ определены аналогично. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66097

Темы:	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что BD = CD, ∠BDC = 120°. Вне треугольника ABC взята такая точка E, что AE = CE, ∠AEC = 60° и точки B и E находятся в разных полуплоскостях относительно AC. Докажите, что ∠AFD = 90°, где F – середина отрезка BE.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78288

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

ABC – равнобедренный треугольник; AB = BC, BH – высота, M – середина стороны AB, K – точка пересечения BH с описанной окружностью треугольника BMC. Доказать, что BK = ³/₂ R, где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66677

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Mudgal A.

Дана окружность $\omega$ и ее хорда $BC$. Точка $A$ движется по большей из дуг $BC$. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $D$, $E$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$, что $H$ – середина отрезка $DE$, $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $ADE$. Докажите, что все точки $O_A$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 66309

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]