ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Mudgal A.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



Задача 66949

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Mudgal A.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина дуги $BAC$ описанной окружности $\Omega$, $I$ – центр вписанной окружности, $N$ – вторая точка пересечения прямой $AI$ с $\Omega$, $E$ – точка касания стороны $BC$ с соответствующей вневписанной окружностью, $Q$ – вторая точка пересечения окружности $IMN$ с прямой, проходящей через $I$ и параллельной $BC$. Докажите, что прямые $AE$ и $NQ$ пересекаются на $\Omega$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67102

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Теорема Паскаля ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ выбрана точка $P$. Лучи с началом в точке $P$, пересекающие под прямым углом стороны $BC$, $AC$, $AB$, пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Оказалось, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $Q$. Докажите, что все такие прямые $PQ$ пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56926

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 6
Классы: 9

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56954

Темы:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 6
Классы: 9

а) Точки P1 и P2 изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P1P2.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P1 и P2 проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P1 перпендикулярны прямым, соединяющим точку P2 с вершинами треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56955

Темы:   [ Подерный (педальный) треугольник ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 6
Классы: 9

Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .