На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

   Решение

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые AB и CD .

   Решение

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние между прямыми BD1 и DC1 и постройте их общий перпендикуляр.

   Решение

В треугольной пирамиде ABCD известно, что CD = a , а перпендикуляр, опущенный из середины ребра AB на CD , равен b и образует равные углы α с гранями ACD и BCD . Найдите объём пирамиды.

   Решение

Периметр ромба равен 48, а сумма диагоналей равна 26. Найдите площадь ромба.

   Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 83]      

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, точка $M$ – середина стороны $AC$. Прямая $BO$ пересекает высоты $AA_1$ и $CC_1$ в точках $H_a$ и $H_c$ соответственно. Описанные окружности треугольников $BH_aA$ и $BH_cC$ вторично пересекаются в точке $K$. Докажите, что $K$ лежит на прямой $BM$.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $A_0$ и $C_0$ – середины меньших дуг соответственно $BC$ и $AB$ его описанной окружности. Окружность, проходящая через $A_0$ и $C_0$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $S$, $Q$ и $R$ соответственно (все эти точки различны). Известно, что $PQ\parallel AC$. Докажите, что $A_0P+C_0S=C_0Q+A_0R$

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

На диагонали AC ромба ABCD взята произвольная точка E, отличная от точек A и C, а на прямых AB и BC – точки N и M соответственно, причём
AE = NE  и  CE = ME.  Пусть K – точка пересечения прямых AM и CN. Докажите, что точки K, E и D лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 83]