Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основание KM равнобедренного треугольника KLM является хордой окружности, центр которой лежит вне треугольника KLM. Прямые, проходящие через точку L, касаются окружности в точках P и Q. Найдите площадь треугольника PLQ, если  KL = LM = ,  ∠KLM = 2 arcsin ,  а радиус окружности
равен 1.

Вниз   Решение


На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.

ВверхВниз   Решение


Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a1, a2, ..., a2n,  чтобы сумма  |a1a2| + |a2a3| + ... + |a2n–1a2n| + |a2na1|  была наибольшей?

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

4arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ - arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{239}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$.


ВверхВниз   Решение


Докажите равенство:

arctg x + arctg y = arctg $\displaystyle {\frac{x+y}{1-xy}}$ + $\displaystyle \varepsilon$$\displaystyle \pi$,

где $ \varepsilon$ = 0, если xy < 1, $ \varepsilon$ = - 1 , если xy > 1 и x < 0, $ \varepsilon$ = + 1, если xy > 1 и x > 0.

ВверхВниз   Решение


Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

ВверхВниз   Решение


Автор: Mudgal A.

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Может ли бильярдный шар, отразившись поочередно от двух соседних сторон прямоугольного бильярдного стола, прийти в исходную точку?

ВверхВниз   Решение


В окружности с центром O проведены параллельные хорды PQ и RS, диаметр SE и хорда RE. Хорда RE пересекает хорду PQ в точке F, из точки F опущен перпендикуляр FH на SE. Известно, что радиус окружности равен r, а  EH = 3r/8.  Найдите расстояние от середины отрезка EO до середины хорды RQ.

ВверхВниз   Решение


К некоторому числу прибавили его сумму цифр и получили 2014. Приведите пример такого числа.

ВверхВниз   Решение


Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

ВверхВниз   Решение


По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 772]      



Задача 53131

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная T1T2 (T1 и T2 — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках A1 и A2. Докажите, что A1T1 = A2T2 (или, что эквивалентно, A1T2 = A2T1).

Прислать комментарий     Решение


Задача 55496

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

Прислать комментарий     Решение


Задача 67095

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фадин М.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108530

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность C1 радиуса 2$ \sqrt{3}$ с центром O1 и окружность C2 радиуса $ \sqrt{3}$ с центром O2 расположены так, что O1O2 = 2$ \sqrt{13}$. Прямая l1 касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая l2— в точках B1 и B2. Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2, A1 $ \in$ C1, B1 $ \in$ C1, A2 $ \in$ C2, B2 $ \in$ C2, точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой O1O2. Через точку B1 проведена прямая l3, перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке A, а прямую l3 — в точке B. Найдите A1A2, B1B2 и стороны треугольника ABB1.

Прислать комментарий     Решение


Задача 52578

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Признаки и свойства касательной ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Три равных окружности S1 , S2 , S3 попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность S , которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки M окружности S касательная, проведённая из точки M к одной из трёх окружностей S1 , S2 , S3 , равна сумме касательных, проведённых из точки M к двум другим окружностям.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 772]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .