Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что
Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK·AB = BO² и
AM·AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.
Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?
Сторона ромба равна 8 см, острый угол равен 30o. Найдите радиус вписанного круга.
Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ – центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.
Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит три дороги, быть ровно 100 дорог?
Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 789]
Задача 67007 |
|
|
Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.
|
|
Решение |
Задача 67114 |
|
|
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.
|
|
Решение |
Задача 77954 |
|
|
Для выпуклого четырёхугольника ABCD соблюдено условие:
AB + CD = BC + DA.
Докажите, что окружность, вписанная в
ABC, касается окружности,
вписанной в
ACD.
|
|
|
Решение |
Задача 78273 |
|
|
Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой
точки M прямой l строится такая точка N, что
NAB = 2
MAB;
NBA = 2
MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не
зависит от выбора точки M на прямой l.
|
|
|
Решение |
Задача 98491 |
|
|
Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N.
Докажите, что если вокруг четырёхугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC равнобедренный.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 789]
