Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами  AC = 3  и  BC = 4.  Через точку C проведена прямая, лежащая вне треугольника и образующая с катетами углы, равные 45°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, B и касающейся этой прямой.

   Решение

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  t(0) − t(^π/₅) + t(^2π/₅) − t(^3π/₅) + ... + t(^8π/₅) − t(^9π/₅),  где  t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?

   Решение

Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству   x² – mxy + y² = 1   (1)   тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности  (2):  a₀ = 0,  a₁ = 1,  a₂ = m,  a₃ = m² – 1,  a₄ = m³ – 2m,  a₅ = m⁴ – 3m² + 1,  ...,  в которой  a_k+1 = ma_k – a_k–1  для любого  k 0.  Докажите это.

   Решение

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $S$. Отрезки $AS$ и $BC$ пересекаются в точке $P$. Биссектрисы (как лучи) углов $APC$ и $SPC$ пересекают $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $S$ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательные к $\omega$, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $S$. Отрезки $AS$ и $BC$ пересекаются в точке $P$. Биссектрисы (как лучи) углов $APC$ и $SPC$ пересекают $\omega$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $S$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB, а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]