Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 185]
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.
(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.
в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.
г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Существует ли тетраэдр, высоты которого равны 1, 2, 3 и 6?
Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы
площадей трёх остальных его граней.
Углы, образованные сторонами правильного треугольника с некоторой плоскостью,
равны α, β и γ. Доказать, что одно из чисел sin α,
sin β, sin γ равно сумме двух других.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
В пространстве даны две пересекающиеся плоскости
и
. На линии
их пересечения дана точка
A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости
и проходящих через точку
A, наибольший угол с плоскостью
образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей
и
.
Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 185]
Фильтр
Решение 
