Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 159]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве даны точки
A(
-1
;2
;0)
,
B(5
;2
;-1)
,
C(2
;-1
;4)
и
D(
-2
;2
;-1)
. Найдите:
а) расстояние от вершины
D тетраэдра
ABCD до точки
пересечения медиан основания
ABC ;
б) уравнение плоскости
ABC ;
в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины
D ;
г) угол между прямыми
BD и
AC ;
д) угол между гранями
ABC и
ACD ;
е) расстояние между прямыми
BD и
AC .
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной
точки и образующих попарно тупые углы?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Поверхность выпуклого многогранника
A1B1C1A2B2C2 состоит из восьми треугольных граней AiBjCk, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 лежат в одной плоскости.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника
A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 159]
Фильтр
Решение
