Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Алгебраические неравенства и системы неравенств
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите равенство:

arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$.


Вниз   Решение

Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.

ВверхВниз   Решение

Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если  AB = BC = 2,  ∠B = 2 arcsin ,  а радиус окружности равен 1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

ВверхВниз   Решение

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

ВверхВниз   Решение

Автор: Егоров А.А.

Известно, что уравнение  x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0  имеет действительный корень. Докажите неравенство  a² + b² ≥ 8.

ВверхВниз   Решение

Что больше:     или  

ВверхВниз   Решение

Авторы: Полянский Н., Скробот Д.

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

ВверхВниз   Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = 9R/8.  Найдите SM.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.

ВверхВниз   Решение

С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

ВверхВниз   Решение

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
  a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
  a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
  a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
    ...,
  a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
  a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 590]      

  с решениями  

Задача 77911

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 77955

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичные дроби ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).

Прислать комментарий     Решение

Задача 78005

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
  a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
  a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
  a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
    ...,
  a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
  a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78009

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
  a1 – 4a2 + 3a3 ≥ 0,
  a2 – 4a3 + 3a4 ≥ 0,
  a3 – 4a4 + 3a5 ≥ 0,
    ...,
  a99 – 4a100 + 3a1 ≥ 0,
  a100 – 4a1 + 3a2 ≥ 0.
Известно, что  a1 = 1,  определить a2, a3, ..., a100.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78483

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  an + bn + cn > 0  при любом натуральном n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 590]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .