- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 16. Неравенства
- Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 10. Неравенства
- Кружки, факультативы, спецкурсы, Кружки МЦНМО, 7 класс, 2004/2005, Занятие 4. Неравенства
- Кружки, факультативы, спецкурсы, Кружки МЦНМО, 7 класс, 2004/2005, Занятие 11. Оценки
Подтемы:
- Числовые неравенства. Сравнения чисел. (100 задач)
- Линейные неравенства и системы неравенств (77 задач)
- Квадратичные неравенства (несколько переменных) (43 задачи)
- Классические неравенства (258 задач)
- Системы алгебраических неравенств (12 задач)
- Алгебраические неравенства (прочее) (177 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.
Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если AB = BC = 2, ∠B = 2 arcsin , а радиус окружности равен 1.
Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.
На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?
Известно, что уравнение x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.
Что больше: или
В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E1 и F1. Докажите, что прямые EF и E1F1 параллельны.
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.
В окружность с центром O вписана трапеция ABCD (BC || AD). В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а CH = 9R/8. Найдите SM.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.
С числом разрешается производить две
операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на
1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0
получить
а) число 100; б) число n?
Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
...,
a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.
Задачи Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 591]
Задача 77911 |
|
|
Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 77955 |
|
|
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
|
|
|
Решение |
Задача 78005 |
|
|
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
...,
a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.
|
|
Решение |
Задача 78009 |
|
|
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 4a2 + 3a3 ≥ 0,
a2 – 4a3 + 3a4 ≥ 0,
a3 – 4a4 + 3a5 ≥ 0,
...,
a99 – 4a100 + 3a1 ≥ 0,
a100 – 4a1 + 3a2 ≥ 0.
Известно, что a1 = 1, определить a2, a3, ..., a100.
|
|
|
Решение |
Задача 78483 |
|
|
a, b, c – такие три числа, что abc > 0 и a + b + c > 0. Доказать, что an + bn + cn > 0 при любом натуральном n.
|
|
|
Решение |
Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 591]
