Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)   ≤   неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b₁ + ... + b_n = 1.
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне AB. Некоторая окружность касается стороны BC параллелограмма ABCD в точке P и касается прямой, проходящей через вершины A и B этого же параллелограмма, в точке A. Через точку P проведён перпендикуляр PQ к стороне AB (точка Q — основание этого перпендикуляра). Найдите угол ABC, если известно, что площадь параллалограмма ABCD равна , а площадь пятиугольника QPCDA равна S.

   Решение

Найдите наибольшее значение выражения

x + y.

   Решение

Докажите равенства:
  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;
  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;
  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

   Решение

При каких натуральных  n ≥ 2  неравенство     выполняется для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если
  а)  p = 1;
  б)  p = ⁴/₃;
  в)  p = ⁶/₅?

   Решение

Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

   Решение

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

   Решение

На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника.
Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.

   Решение

Докажите, что если  x² + 1  (x – целое) делится на нечётное простое p, то  p = 4k + 1.

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

Основание равнобедренного треугольника равно a, угол при вершине равен α. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне.

   Решение

Дана невозрастающая последовательность чисел   ¹/_2k = a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... > 0,  a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

   Решение

Докажите, что если D – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC, а M – произвольная точка на стороне AC, то  DB – DM < AB – AM.

   Решение

В треугольнике $ABC$ $\angle C=90^{\circ}$, $A_0$, $B_0$, $C_0$ – середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. На отрезках $AB_0$ и $BA_0$ во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами $C_1$, $C_2$. Найдите угол $C_0C_1C_2$.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AD = АВ + CD.  Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС.
Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.

   Решение

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  x_k+1 – x_k  меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

   Решение

2ⁿ = 10a + b.  Доказать, что если  n > 3,  то ab делится на 6.  (n, a и b – целые числа,  b < 10.)

   Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 598]      

Имеются два симметричных кубика. Можно ли так написать на их гранях некоторые числа, чтобы сумма очков при бросании принимала значения 1, 2, ..., 36 с равными вероятностями?

Прислать комментарий

Решение

2ⁿ = 10a + b.  Доказать, что если  n > 3,  то ab делится на 6.  (n, a и b – целые числа,  b < 10.)

Прислать комментарий

Решение

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим суммы цифр всех чисел от 1 до 1000000 включительно. У полученных чисел вновь рассмотрим сумму цифр и так далее, пока не получим миллион однозначных чисел. Каких чисел больше среди них – единиц или двоек?

Прислать комментарий

Решение

Найдите все простые числа вида  P^P + 1  (P – натуральное), содержащие не более 19 цифр.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 598]