Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.

   Решение

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.

   Решение

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.

   Решение

Угол при основании равнобедренного треугольника равен . Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.

   Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R h.

   Решение

Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B.
Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна ¹/_n+1 части диагонали:  AQ = ^AC/_n+1.

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

   Решение

Многочлен  $P(x, y)$  таков, что для всякого целого  $n\geqslant 0$  каждый из многочленов  $P(n, y)$  и  $P(x, n)$  либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен  $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

   Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 352]      

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что  ∠ABM = ∠CBN.  Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что  AC' = A'C.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если  AB =A'B',  BC = B'C', и  ∠A = ∠A'?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники ABE₁ и ABE₂ равны, то треугольники CDE₁ и CDE₂ тоже равны.

Прислать комментарий

Решение

Треугольники ABC и BAD равны, причём точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что:
  а) треугольники CBD и DAC равны;
  б) прямая CD делит отрезок AB пополам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 352]