ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Алгебраические неравенства и системы неравенств >> Квадратичные неравенства (несколько переменных)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3.


Вниз   Решение

Средняя линия KL равностороннего треугольника ABC является также средней линией треугольника DEF, у которого вершина D лежит на отрезке AC, а вершина F на продолжении стороны AC за точку C. Площадь четырёхугольника DKLC составляет $ {\frac{3}{8}}$ площади треугольника DEF. Найдите угол EDF.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бородин П.А.

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

ВверхВниз   Решение

Дан многоугольник на плоскости, невыпуклый и несамопересекающийся. Д – множество точек, принадлежащих тем диагоналям многоугольника, которые не вылезают за его пределы (то есть лежат либо целиком внутри, либо частью внутри, частью на контуре). Концы этих диагоналей тоже включаются в Д. Докажите, что любые две точки из Д можно соединить ломаной, целиком принадлежащей Д.

ВверхВниз   Решение

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      

  с решениями  

Задача 30865

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78470

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97997

Темы:   [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Назаров Ф.

Положительные числа a, b, c таковы, что  a ≥ b ≥ c  и  a + b + c ≤ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34837

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Про действительные числа a, b, c известно, что  (a + b + c)c < 0.  Докажите, что  b² – 4ac > 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78472

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 43]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .