В ряд посажены 2000 деревьев - дубы и баобабы. К каждому дереву прибита табличка, на которой указано количество дубов среди следующих деревьев: дерева, на котором висит табличка, и его соседей. Можно ли по числам на табличках определить, какие из деревьев - дубы?

   Решение

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
  а)  4x³ – 18x² + 24x = 8,     4x³ – 18x² + 24x = 9;
  б)  4x³ – 18x² + 24x = 11,     4x³ – 18x² + 24x = 12?

   Решение

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

   Решение

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, a и b.

   Решение

Через точку D основания AB равнобедренного треугольника ABC проведена прямая CD, пересекающая его описанную окружность в точке E.
Найдите AC, если  CE = 3  и  DE = DC.

   Решение

Точки  A₁,..., A₆ лежат на одной окружности, а точки K, L, M и N — на прямых  A₁A₂, A₃A₄, A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем  KL| A₂A₃, LM| A₃A₆ и  MN| A₆A₅. Докажите, что  NK| A₅A₂.

   Решение

Дан треугольник ABC, в котором  ∠A = α,  ∠B = β.  На стороне AB взята точка D, а на стороне AC – точка M, причём CD – биссектриса треугольника ABC,
DM || BC  и  AM = a.  Найдите CM.

   Решение

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.

   Решение

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

   Решение

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на каждых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать?

   Решение

При каких a многочлен  P(x) = a³x⁵ + (1 – a)x⁴ + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³  делится на  x – 1?

   Решение

Диагонали равнобокой трапеции АВСD с боковой стороной АВ пересекаются в точке Р. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP?

   Решение

В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса BE. Известно, что угол BEA равен 45°. Докажите, что угол EHC равен 45°.

   Решение

Дан произвольный треугольник ABC и такая прямая l, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки A равно сумме расстояний до этой прямой от точек B и C (причем B и C лежат по одну сторону от l). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 241]      

Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?

Прислать комментарий

Решение

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли на плоскости конечный набор различных векторов , , ..., такой, что для любой пары различных векторов из этого набора найдётся такая другая пара из этого набора, что суммы каждой из пар равны между собой?

Прислать комментарий

Решение

Дан произвольный треугольник ABC и такая прямая l, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки A равно сумме расстояний до этой прямой от точек B и C (причем B и C лежат по одну сторону от l). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 241]